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Définition
\(\triangleright\) Définition d'une série entière
Une série entière est une Séries de fonctions avec:
$$f_n(x)={{a_n x^n}}$$
On remarque un lien avec le Développement de Taylor-Maclaurin.
Propriétés
\(\triangleright\) Lemme sur les série entière
Soit \(x_0\) tel que la suite \((a_n x_n)\iff |a_nx^n|\) est 2bornée.
Si \(|x|\lt |x_0|\), alors la série \(\sum a_n x_n\) converge absolument (Convergence absolue)
C'est-à-dire: - Sur \(D(0, |x_0|)\), la série converge absolument
- Sur \(\bar D(0,k)\), \(\forall 0\leq k\leq |x_0|\), converge normalement (Convergence normale)
\(\triangleright\) Théorème sur les séries entières
Si \(\sum_n a_n x^n\) a pour rayon de convergence \(R\):- On a la 1convergence absolue sur \(D(0,R)\) (ouvert)
- On a la convergence normale sur \(\bar D(0,k)\) pour \(k\lt R\) (fermé)
- On a la divergence sur \(|x|\gt R\)
\(\triangleright\) Théorème d'Abel
Soit une série \(\sum a_n x^n\) où la série numérique \(\sum a_n\) converge alors la série \(\sum a_nx^n\) converge uniformément sur \([0,1]\)
Somme de séries
\(\triangleright\) Propriété sur la somme de séries
Soit \(\sum a_nx^n\) et \(\sum b_nx^n\), alors:
$${{\sum (a_n+b_n)x^n}}=\sum a_nx^n +\sum b_nx^n$$
Notions utiles
Rayon de convergence
